三角函數 @ 天才☆☆のblog

三角函數最早的形成，大概的確是為了測量的需要吧!人們發現相似形中各對應邊邊長成比例的特性
就了解到:若是要描述一個邊長，只要用一個角度和另一個邊長就好了(在直角三角形中)這種角度與邊長比值的對應關係，其實就是一種"函數"的概念("函數"就是一種"對應關係")。
因此，我們就可以定義這些對應關係為某種"函數"又因為這個函數與直角三角形的角度有關,因此被稱為"三角函數"。
直角三角形中，任取兩個邊相除，可以得到六組比值,所以三角函數被定義出六個，就是"正弦函數"、"餘弦函數"、"正切函數"、……等等(至於他們的名稱由來,是有著各自的理由的，在此不討論)，
而且他們之間有一些"關係式"。
有了基礎的三角函數概念後,為了應用需要，就將這些三角函數的"作用範圍"(定義域)擴大，使超過90度的角度也可以被"作用"了，也產生了更多的關係式。
角度的計量，除了"度"之外，還有一種單位稱為"弳度"。
此種角度單位的想法也是來自於相似形︰"對於同一個大小的圓心角，其所對圓弧與半徑的比值為定值"。
因此,特定的比值可以代表特定的角度,所以我們也可以拿這個比值來描述一個角度，這種角度的度量單位,就稱為"弳度"。「弳度」有什麼好處?「度」我們用的好端端的,幹麻沒事找事做,又創造一個新單位??這當然是有好處的啊!!因為弳度是「弧長除以半徑」,它的單位是「"長度單位"除以"長度單位"」就是「沒有單位」!!弳度是光溜溜的一個"數",它是不帶單位的!!這樣子,就可以順利的將三角函數的作用範圍推廣到整個實數。此時，三角函數已經喪失了一些"角度"的概念
或者說是:三角函數已經不再被拘泥於角度了想法上了，它就是一個函數,一個由"數"對應到"數"的函數~~!!
這種函數 (三角函數)具有週期性，某些函數間可藉由"疊合"而變成一個函數，且這種函數的微分和積分皆已知、可以計算，高階微分具有週期的變化性...由於種種的「美好」性質，三角函數方便於我們來描述一些現象，例如:週期性的震盪、波動的描述等等。甚至進而作運算、得到一些更深刻的結果
總而言之︰三角函數從最早的土地、建築等實用的測量功用，轉變成一種"工具"，一種更抽象的工具，方便我們處理一些物理上的方程式，並進而輔助我們討論物理現象。

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三角函數口訣
三角函數是函數，象限符號坐標注。函數圖象單位圓，周期奇偶增減現。
同角關系很重要，化簡證明都需要。正六邊形頂點處，從上到下弦切割；
中心記上數字１，連結頂點三角形；向下三角平方和，倒數關系是對角，
頂點任意一函數，等於後面兩根除。誘導公式就是好，負化正後大化小，
變成稅角好查表，化簡證明少不了。二的一半整數倍，奇數化余偶不變，
將其後者視銳角，符號原來函數判。兩角和的餘弦值，化為單角好求值，
餘弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名，互余角度變名稱。
計算證明角先行，注意結構函數名，保持基本量不變，繁難向著簡易變。
逆反原則作指導，升冪降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路明。
萬能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運用加巧用；
１加餘弦想餘弦，１減餘弦想正弦，冪升一次角減半，升冪降次它為范；
三角函數反函數，實質就是求角度，先求三角函數值，再判角取值范圍；
利用直角三角形，形象直觀好換名，簡單三角的方程，化為最簡求解集。
在數學中，三角函數（也叫做圓函數）是角的函數；它們在研究三角形和建模周期現象和許多其他應用中是很重要的。三角函數通常定義為包含這個角的直角三角形的兩個邊的比率，也可以等價的定義為單位圓上的各種線段的長度。更現代的定義把它們表達為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們擴展到任意正數和負數值，甚至是複數值。

在直角三角形中僅有銳角三角函數的定義。
1. 一個銳角的正弦是它的對邊與斜邊的比值。在圖中，sinA = 對邊/斜邊 = a/h。
2. 一個銳角的餘弦是它的鄰邊與斜邊的比值。在圖中，cosA= 鄰邊/斜邊 = b/h。
3. 一個銳角的正切是它的對邊與鄰邊的比值。在圖中，tanA = 對邊/鄰邊 = a/b。
三角函數中有一些常用的特殊函數值。
函數名 $0 \ (0^\circ)$ $\frac{\pi}{12} \ (15^\circ)$ $\frac{\pi}{6} \ (30^\circ)$ $\frac{\pi}{4} \ (45^\circ)$ $\frac{\pi}{3} \ (60^\circ)$ $\frac{5\pi}{12} \ (75^\circ)$ $\frac{\pi}{2} \ (90^\circ)$

sin	0	$\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} } {4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} } {4}$	1
cos	1	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2}} {4}$	0
tan	0	$2-\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$	$\infty$
cot	$\infty$	$2+\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$2-\sqrt{3}$	0
sec	1	$\sqrt{6} - \sqrt{2}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{2}$	2	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$	$\infty$
csc	$\infty$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$	2	$\sqrt{2}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{6} - \sqrt{2}$	1